(-) X (-) = (+) ஏன்?

ஒருவர் கணிதத்தில் சந்தேகம் ஒன்றை கேட்டிருந்தார். எல்லாருக்கும் தெரிந்த கணிதம் தான். ஆனால் அதற்கு விளக்கம் நிறைய பேருக்குத் தெரியாது. அதாவது (-) X (-) = (+) ஏன்? உம். (-3) X (-2) = 6. இரண்டும் மைனஸ். அப்படி என்றால் (-6) தானே வரவேண்டும்? ஏன் (+6)? நல்ல வேள்வி. 

இதற்கு நான் இரண்டு வழிகளில் பதில் கூறுகிறேன். 5ம் வகுப்புக் குழந்தைகளுக்கான எண் கோடு (Number Line) முறையில், இன்னொன்று 8 -10ம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கான கணித முறையில் (Axiom). இதனைப் புரிந்து கொண்டு உங்கள் குழந்தைகளுக்கு கற்றுக் கொடுக்கவும். 

முறை 1 - எண்கோட்டு முறை (Number Line)

(-2) X (-3) என்ற அமைப்பில் முதல் எண்ணிற்கு முன்புள்ள குறியை (Sign) அந்த எண் எந்த பக்கத்தை நோக்கி உள்ளது என்பதாகும். இரண்டாம் எண்ணிற்கு முன்புள்ள குறி அந்த எண் எந்த திசையில் செல்லவேண்டும் என்பதைச் சொல்கிறது.

நீங்கள் தான் 2 என்று வைத்துக் கொள்வோம். உங்களுக்கு இடப்பட்ட கட்டளை 3 எனலாம். நீங்கள் + ஆக இருந்தால் வலதுபுறம் செல்லவும். மைனசாக இருந்தால் இடதுபுறம் செல்லவும்.

2 X 3 என்ற பெருக்கலில்...  நீங்கள் வலதுபுறம் முகத்தை நோக்கி முன்னோக்கி நடந்துசெல்லுங்கள்.

(-2) X 3 என்ற பெருக்கலில்...  இப்போது 2ன் முன் (-) குறி உள்ளது. எனவே நீங்கள் இடதுபுறம் முகத்தை திருப்பி முன்னோக்கி நடந்துசெல்லுங்கள்.

2 X (-3) என்ற பெருக்கலில்... இப்போது உங்களுக்கு இடப்பட்ட கட்டளையான 3ன் முன் (-) குறி உள்ளது.  நன்கு கவனியுங்கள்.  வலது திரும்பி மைக்கேல் ஜாக்சன் மாதிரி பின்னோக்கி செல்லுங்கள்...!

(-2) X (-3) என்ற பெருக்கலில்... இப்போது 2ன் முன்பாக (-) உள்ளது. எனவே இடதுபுறம் திரும்புங்கள். உங்களுக்கு இடப்பட்ட கட்டளையான 3ன் முன் (-) குறி உள்ளது.  ஆகவே மைக்கேல் ஜாக்சன் மாதிரி பின்னோக்கி செல்லுங்கள்...!

முறை 2 - கணிதவியல் எடுத்துக்காட்டு விளக்கம்...

கணிதத்தில் கூட்டுத் தலைகீழி (Additive Inverse) அல்லது எதிர் எண் என்று ஒரு Axiom உள்ளது. 3ன் கூட்டுத் தலைகீழ் (-3). 2ன் கூட்டுத் தலைகீழ் (-2). இது எல்லாருக்கும் தெரியும். ஒரு எண்ணை அதனுடைய கூட்டுத் தலைகீழுடன் கூட்டினால் கிடைப்பது சுழி. உம். 3 + (-3) = 0 அதுபோல 2 + (-2) = 0.  

3 X (-2) ன் கூட்டுத் தலைகீழி (-3) X (-2) ஆகத் தான் இருத்தல் வேண்டும். ஏனெனில் அவை இரண்டும் இணைந்து சுழி (0) கிடைக்கும். [3 X (-2)] + [(-3) X (-2)] —> [3 + (-3)] X (-2) = 0. 

ஒரு எண்ணின் கூட்டுத் தலைகீழின் கூட்டுத் தலைகீழி அதே எண்தான். 3ன் கூட்டுத் தலைகீழி (-3)... அந்த கூட்டுத் தலைகீழின் கூட்டுத் தலைகீழி? -(-3)= 3. சரியா?  

(-3) X (-2) ன் கூட்டுத் தலைகீழான 3 X (-2) ன் கூட்டுத் தலைகீழி? ... (-3) X (-2) தான். சரியா? சரி... 3 X 2 ன் கூட்டுத் தலைகீழி என்ன?  3 X (-2) தான்.  [3 X 2] + [3 X (-2)]—> [2 + (-2)] X (3) = 0.  

ஆக, (-3) X (-2) ன் கூட்டுத் தலைகீழான 3 X (-2)ன் கூட்டுத் தலைகீழி 3 X 2. சரியா? அப்படி என்றால் 3 X 2 ம்  (-3) X (-2) ம் ஒன்று (சமானம் i.e. equivalent) தானே? அதாவது 6. 

எனவே தான் (-) X (-) = (+). இந்த கேள்வியை கேட்ட நண்பருக்கு மிக்க நன்றி. 🙏